Центральная репетиторская компания

 
Репетитор в Москве на дому - гарантия успеваемости

Деление в столбик с остатком

Деление в столбик с остатком


В учебниках не рассказывают,  почему деление в столбик выполняется именно так, как выполняется. Моя  статья даёт понимание, почему именно нужно делить так, и как это происходит в  жизни. В статье будет пример и объяснение, как делить в столбик с остатком и  без остатка. Разобравшись со всем этим, у вас не будет проблем с делением  в столбик.
 

Надеюсь, что вы извините  меня за то, что я делаю все очень подробно и, практически, разжевываю. Я  заметил, что многие ученики не понимают сразу и подробное объяснение, а также повторение  вновь и вновь им сильно помогает в учёбе и нравится.

    Администратор Шитов Андрей

 

Прежде всего, необходимо  прояснить такие базовые понятия,  как  делимое, делитель, частное, остаток, а также число и цифра. Определение некоторых  терминов вы найдёте в конце статьи Если ребёнку не интересна математика.
 

Вторым важным шагом является  вот что: следует обучить студента правилам устного деления, умножения, сложения  и вычитания. Прояснить математические термины, основные понятия математики и выполнить  тренировки вам помогут наши репетиторы. Также смотрите видео – Как  выучить таблицу умножения легко, весело и без нервов. Она подскажет, как  правильно тренироваться.
Итак, начнём…

 

Как делить в столбик

Давайте последовательно  разберём деление в столбик.
Рассмотрим число 962 –  делимое. Его необходимо разделить на 7 – делитель и получить результат –  частное.
Записывается выражение  так (выражение - формула, которая описывает на бумаге математический пример или задачу).

Теперь для удобства  вычислений  разделяем наши цифры на  бумаге перпендикулярными отрезками.


Делимое (962) у нас  записывается в верхнем левом прямоугольнике, делитель записывается в верхнем  правом прямоугольнике. Под делителем (7) будет записано наше решение – частное.  А вычисления мы будем производить под делимым (962).

 

Чтобы легко выполнять деление  в столбик, нужно понять суть того, что и зачем мы делаем. Я заметил, что  ученики запутываются в цифрах, так как у них нет представления, как это  происходит в жизни и что такое значат эти цифры. (Обязательно проясните, чем цифра отличается от числа, если вы ещё этого  не сделали).
 

Вначале необходимо понять  скольки-разрядным будет наш целый результат – частное? (Остаток пока не  рассматриваем. Разряд – это десятки, сотни, тысячи…)
 

Для этого посмотрим на  первую цифру делимого (9 – это разряд сотни) и на делитель (7). 9 делится на 7,  значит частное будет сто-разрядным (будет три знака в цифре решения).
Почему так?

 

  Для того, чтобы понять  это – рассмотрим наглядный пример со спичками!
 
Это легче понять на  наглядном рисунке.

 

Иллюстрация деление  столбиком - пример

Делимое – это ведро со спичками, в котором у нас 962 спички.
Делитель – это спичечный коробок, в который мы будем складывать ровно по 7  спичек.
Частное – это ответ на вопрос: сколько таких коробков по 7 спичек нам понадобится???

 

В математике принята десятичная  система счисления (она оказались самой удобной, но есть двоичная,  двенадцатеричная, тридцатидвуричная и любая другая, какую вы хотите – можете после  урока сами поэкспериментировать со всем этим).
 

Так как мы будем использовать десятеричную систему, то нам нужны:
Ящики, в каждом из которых помещается 10 таких коробков (десятки), контейнеры,  в которых помещается по10 ящиков. (Мы совсем вплотную подошли к сути деления  чисел столбиком.)

 

Сколько нам нужно таких контейнеров по 10 ящиков, сколько ящиков (по 10коробков)?   И сколько таких коробков (по 7 спичек)?  И сколько спичек – ещё останется (ниже также рассмотрим деление столбиком с  остатком)?
 

В цифре 962 будет 1 контейнер (Проверка: 7*10*10=700 – спичек в одном  контейнере). Больше контейнеров нам не нужно, так как в двух контейнерах будет  1400 спичек, а у нас всего 962 спички. Кстати, мы также сразу видим, что  частное (на языке цифр)  имеет разряд –  сотни.
 

Сразу приведу другой пример:
А если у нас будет в коробке 26 спичек, а в ведре 131 спичка (пример 131  : 26) – сколько нужно контейнеров, чтобы переложить туда все спички???
Нам необходимо вычислить, сколько нам нужно коробков. Если вы просто  представите в своей голове или реально возьмёте спички и разложите их по  коробкам, то увидите, что вам нужно несколько коробков, а контейнеры не  нужны!!!

 

В одном контейнере 10 ящиков, по 10 коробков в каждом, а в коробке 26  спичек – теперь видите из рисунка, что контейнеры нам не нужны!!! Также, нам не  нужны и ящики!!! (Проверка: В контейнере 26*10*10 = 2600 спичек. В ящике  26*10=260 спичек.)
 

Повторюсь: нам достаточно несколько коробков! А именно нам нужно всего 5  коробков и у нас ещё будет 1 спичка в остатке. (Если нам нужно разделить спичку  на 26 частей, то это будет = 0.0384615… или 1/26 спички. Об  этом немного позже. Спички обычно не делят в жизни. Но если брать не одну  спичку, а один мешок картошки или грамм золота, то всё становится на свои  места. Мешок картошки делится, а грамм золота также можно поделить на  миллиграммы… (Это понятнее, если вы знаете, чем число отличается от цифры? За  единицу чисел можно принять как одну спичку, так и один мешок картошки. Если  вам кажется глупым делить спичку на 26 частей, то один мешок картошки поделить  на 26 частей становится вполне разумным. То-есть числа – это количество чего-то  в жизни, а цифры – это символы, которые обозначают это количество. Именно из-за  непонимания понятий этих слов у многих учеников в математике такие проблемы и  не только с делением в столбик). Наши репетиторы прикладного  образования помогут найти и прояснить непонятое в любом предмете.
 

Потерпите, скоро мы снова  перейдём к делению в столбик, чтобы разобраться до конца тогда уже с  цифрами (математическими символами чисел). (Проясните ещё раз, чем число  отличается от цифры в конце данной статьи). А пока ещё немного примеров.
 

Основа деления в столбик

 
Посмотрите снова на  цифру 962 – делимое. О чём она нам говорит? Она говорит о том, что у нас есть  какое-то число предметов количеством 962 (962 спички в нашем примере). Посмотрите  ещё раз на цифру 7 – делитель. О чём эта цифра говорит? Она говорит, например, о  том, что у нас в каждом коробке 7 спичек и нам нужно найти – сколько будет этих  коробков. Нам также придётся определить, сколько нужно десятков и сотен  коробков? И десятки, сотни… придуманы лишь для того, чтобы мы не показывали  друг другу на пальцах – сколько и чего у нас есть. Кто-то записал, например,  754 - и мы знаем, что здесь 4 единицы, 5 десятков, 7 сотен.
  Ну ладно, а  вот ещё пример:
Если делимое равно 2348787 (например - яблок), наш  делитель = 748. Это говорит о том, что яблоки необходимо разложить, но как? Для  этого у нас есть ящики в каждом по 748 яблок.  Ящики помещаются в контейнеры по 10 ящиков. Которые  помещается в грузовик  – по 10  контейнеров. Сколько будет ящиков с яблоками? (Заметили, ящики легче считать,  когда яблок много. Поэтому деление в жизни нам сильно помогает.)

 

Если будем двигаться дальше, то… Грузовики  помещаются в корабли по 10 грузовиков. Корабли помещаются в озеро по 10  кораблей. Озёра помещаются в моря по 10 морей. (7 разрядов – единицы, десятки,  сотни, тысячи…)
Но нужно ли нам заполнять моря?

 

Делитель 748 говорит о том, что десятки у нас равны  748*10 = 7480 яблок. То-есть в 10 ящиках 7480 яблок.
Следовательно в 10 контейнерах 74800 яблок. А в 10  грузовиках 748000 яблок. А в корабле 7480000 яблок. Но у нас всего 2348787, а  это меньше чем вмещает один корабль. Присмотритесь, нам нужно всего 3 грузовика,  несколько контейнеров и какое-то количество ящиков…
Если перевести это на язык символов (цифр),  получаем:
Разряд  2 –  мало. 23 – мало. 234 – мало. Нужно 2348. После 8 у нас ещё 3 разряда. То-есть видно,  что частное будет состоять из 4-х цифр.

(Если  запутываетесь – разберитесь ещё раз с вышеприведёнными рисунками.)

 

Продолжим деление в столбик

 


Посмотрите  на цифры делимого слева направо. Найдите наименьшую цифру, которая больше  делителя?
 

Если мы  делим 962 на 7, то наименьшая цифра = 9 (Помните, как мы увеличиваем – контейнеры,  ящики, коробки… 962спички = (700 спичек * 1 контейнер) + (70 спичек* 3 ящика)+(7  спичек* 7 коробок) +3спички в остатке. Итого: 137 коробков и 3 спички.
 

Если мы  делим 131 на 26, то наименьшая  цифра = 131 (А здесь мы не можем увеличить – ящики, контейнеры  131=26*5коробок+1 спичка. Так как 26 спичек в  10 коробках = 260, а у нас 131. Поэтому оставляем только коробки.)
 

Если мы  делим 2348787 на 748, то  наименьшая цифра = 2348 (Смотрите,  мы увеличиваем – ящики, контейнеры…  2348787=(748000яблока*3грузовика)+(74800яблока*1контейнер)+(7480яблока*4ящика)+64  яблока в остатке.
 

Эти  вычисления сделаны просто методом наблюдения – сколько спичек и куда  поместится. Просто ради эксперимента сделайте это. Деление в столбик цифр на бумаге упрощает нам жизнь, иначе нам  пришлось бы раскладывать по контейнерам любые другие предметы… (Нефть, людей,  деньги, кроликов, бактерии, атомы, звёзды…)
 

Самый  главный вопрос при делении в столбик

 
Задайте себе  вопрос, сколько раз делитель содержится в выбранном числе?
Сколько раз  7 содержится в 9
Сколько раз 26 содержится в 131
Сколько раз 748 содержится в 2348 (для такого сложного выражения  посмотрите, сколько раз 7 содержится в 23, если вы догадаетесь правильно –  дальнейшие вычисления у вас получатся правильными – если нет – вы сможете  быстро всё исправить).

 

Для первого случая:
 

 

«1» в правом  нижнем прямоугольнике  – это первая цифра  нашего искомого значения (частного) – она показывает сколько нам нужно  контейнеров для того количества спичек, которое у нас есть?
 

«Зелёная» двойка  «2» в делении в столбик после  вычитания говорит нам о том, что осталось ещё 2 сотни  спичек, а точнее 262. Контейнер для 700 спичек  нам уже не нужен и мы берём ящики по 70 спичек. Сколько таких ящиков?
 

Ещё раз - сколько  раз 7 содержится в 2? – Нисколько. Это значит, что контейнеры не нужны – спичек  стало меньше и теперь нам понадобятся только спичечные коробки. И мы берём  цифру 6 из десятка.
Мы смотрим  на 26. Сколько коробков по 7 спичек нам нужно? 3*7=2 коробка.


Это и есть деление в столбик с остатком.
Остаток 3  (спички). Всего 137 коробков. (1 контейнер, где 100 коробков. 3 ящика по 10  коробков и 7 коробков просто так.)

 

Как делить остаток в столбик

 

Здесь всё просто. Переходим в разряд «десятые» - это если мы единицу  поделим на 10. Затем сотые и так далее.
Теперь у нас будут маленькие коробочки. Возьмём спичку и сломаем на 10  частей. Одна часть = 1/10.
Если в мешке картошки 100 картошек, то одна картошка = 1/100.
В математике десятые от целых отделяются запятой или точкой

 

Как поделить 3 на 7?
Давайте поломаем каждую спичку на 10 частей, и получится 30 частей. 30  поделить на 7 будет проще, верно?
Но так как это десятые, то решение пишем после запятой:

Полностью деление в столбик с остатком будет выглядеть так:

Также есть ещё некоторые нюансы. Например, когда нужно добавлять в  частном нули? Как делятся отрицательные числа? Как делить дробное число? (Если  делитель или делимое с десятичными знаками.)
 

Необходимо очень хорошо знать таблицу умножения, сложения,  вычитания и деления, чтобы не наделать ошибок.
Вы можете пройти обучение этому по скайпу. Обращайтесь.

Как эффективно выучить таблицу умножения


 

Группа: 
Group
Область видимости: 
Use group defaults